Graphes et matrices - Expert

Chaque année, 5 % des habitants de la zone A partent habiter dans la zone B pour avoir un meilleur cadre de vie, et 25 % des habitants de la zone B partent habiter dans la zone A pour se rapprocher de leur lieu de travail.

On sait de plus qu’en 2018, 35 % de la population habitait en zone A. On suppose que le nombre total d’habitants de la région reste constant au cours du temps.

Pour tout entier naturel n, l’état probabiliste correspondant à l’année 2018 + n est défini par la matrice ligne \(P_n = (a_n\: b_n) \), où \(a_n\) et \(b_n\) désignent respectivement les proportions d’habitants des zones A et B.

Déterminer la matrice ligne \(P_0\) de l’état initial.

Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.
Ecrire la matrice M de transition de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique.

Donner la répartition de la population en 2020. Quel est le pourcentage de la population vivant dans la zone A ?
On arrondira le résultat au pourcent près.

Quel est le pourcentage de la population vivant dans la zone B ?
On arrondira le résultat au pourcent près.

Dans la question suivante, on considère la matrice ligne \(P = (a\: b)\) où \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels tels que \(a + b = 1\).
Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(P = PM\).Que vaut \(a\) ?

Que vaut \(b\) ?

On considère deux suites \( (x_n)_{n\in \mathbb{N}} \) et \( (y_n)_{n\in \mathbb{N}} \) définies pour tout entier naturel \( n \) par : \[ \begin{align} x_{n+1} &= - \dfrac{1}{5}x_n + 4y_n \\ y_{n+1} &= \dfrac{3}{4}x_n - \dfrac{5}{3}y_n \end{align} \quad \text{ avec } x_0 = \dfrac{4}{3} \text{ et } y_0 = -4 \] Ces relations peuvent s'écrirent sous la forme matricielle : \[ \forall n \in \mathbb{N} \quad U_{n+1} = A\times U_n \text{ où } U_n = \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} \]

Déterminer la matrice \( A \).

Déterminer la matrice \( U_0 \).

Exprimer \( U_{ 12 } \) en fonction de \( A \) et \( U_{ 7 } \).

Determiner les valeurs de \( x_{2} \) et \( y_{2} \). On donnera le résultat sous la forme d'un couple \( (a;b) \) où \(a \) et \( b \) sont respectivement les valeurs de \( x_{2} \) et \( y_{2} \).

On considère deux suites \( x_n \) et \( y_n \) définies pour tout entier naturel \( n \) par : \[ \begin{align} x_{n+1} &= - \dfrac{3}{5}x_n - \dfrac{1}{5}y_n \\ y_{n+1} &= \dfrac{4}{5}x_n - \dfrac{2}{5}y_n \end{align} \quad \text{ avec } x_{3} = -3/2 \text{ et } y_{3} = 2/3 \] Ces relations peuvent s'écrirent sous la forme matricielle : \[ \forall n \in \mathbb{N} \quad U_{n+1} = A\times U_n \text{ où } U_n = \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} \]

Determiner la matrice \( A \).

Calculer le déterminant de la matrice \( A \).

Determiner la matrice inverse de \( A \).
On écrira une matrice de 0 si la matrice n'est pas inversible

Exprimer \( U_0 \) en fonction de \( A \) et \( U_{3} \).
On écrira \( A^{-k} \) si on veut écrire \( (A^{k})^{-1} \) ou \( {\left( A^{-1} \right)}^{k} \).

En déduire la valeur de \( x_{0} \) et \( y_{0} \).
On donnera la réponse exacte, sous la forme \( \left( x_{0}; y_{0} \right) \).

Exprimer \( U_{4} \) en fonction de \( A \) et \( U_0 \).

Déterminer la valeur de \( x_{4} \).
On donnera la valeur exacte de \( x_{4} \), sous la forme d'un entier ou d'une fraction.

Chaque année, 5 % des habitants de la zone A partent habiter dans la zone B pour avoir un meilleur cadre de vie, et 10 % des habitants de la zone B partent habiter dans la zone A pour se rapprocher de leur lieu de travail.

On sait de plus qu’en 2018, 35 % de la population habitait en zone A. On suppose que le nombre total d’habitants de la région reste constant au cours du temps.

Pour tout entier naturel n, l’état probabiliste correspondant à l’année 2018 + n est défini par la matrice ligne \(P_n = (a_n\: b_n) \), où \(a_n\) et \(b_n\) désignent respectivement les proportions d’habitants des zones A et B.

Déterminer la matrice ligne \(P_0\) de l’état initial.

Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.
Ecrire la matrice M de transition de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique.

Donner la répartition de la population en 2020. Quel est le pourcentage de la population vivant dans la zone A ?
On arrondira le résultat au pourcent près.

Quel est le pourcentage de la population vivant dans la zone B ?
On arrondira le résultat au pourcent près.

Dans la question suivante, on considère la matrice ligne \(P = (a\: b)\) où \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels tels que \(a + b = 1\).
Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(P = PM\).Que vaut \(a\) ?

Que vaut \(b\) ?

On considère deux suites \( (x_n)_{n\in \mathbb{N}} \) et \( (y_n)_{n\in \mathbb{N}} \) définies pour tout entier naturel \( n \) par : \[ \begin{align} x_{n+1} &= - \dfrac{4}{5}x_n + 4y_n \\ y_{n+1} &= 4x_n - \dfrac{5}{3}y_n \end{align} \quad \text{ avec } x_0 = 5 \text{ et } y_0 = - \dfrac{4}{5} \] Ces relations peuvent s'écrirent sous la forme matricielle : \[ \forall n \in \mathbb{N} \quad U_{n+1} = A\times U_n \text{ où } U_n = \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} \]

Déterminer la matrice \( A \).

Déterminer la matrice \( U_0 \).

Exprimer \( U_{ 14 } \) en fonction de \( A \) et \( U_{ 8 } \).

Determiner les valeurs de \( x_{1} \) et \( y_{1} \). On donnera le résultat sous la forme d'un couple \( (a;b) \) où \(a \) et \( b \) sont respectivement les valeurs de \( x_{1} \) et \( y_{1} \).